Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad 
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

=

lim h0

f(a+h) - f(a) h

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Diferenciable en un subconjunto del dominio 
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

Nota

Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si

lim h0

f(a+h) - f(a) h

no existe, o es infinito.

En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.

http://www2.uah.es/fsegundo/calcTeleco/esquemas/180-Diferenciabilidad.pdf
Continuidad: La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

Bibliografía: http://www.calculo.calculo21.org/id440.htm

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html