Actividad

La regla de la cadena y la regla de la potencia

Bibliografía: 

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf 

Conclusión: la derivada de una función es la que cambia el valor de dicha función matemática.  

Reglas de derivación

Bibliografía: 

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf 

Reglas de derivación

Bibliografía: 

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf 

Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad 
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

=

lim h0

f(a+h) - f(a) h

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Diferenciable en un subconjunto del dominio 
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

Nota

Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si

lim h0

f(a+h) - f(a) h

no existe, o es infinito.

En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.

http://www2.uah.es/fsegundo/calcTeleco/esquemas/180-Diferenciabilidad.pdf
Continuidad: La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

Bibliografía: http://www.calculo.calculo21.org/id440.htm

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html 

La derivada como razón de cambio

Bibliografía: 

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf 

Diferenciación de funciones por incrementos

Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento simbolizado de la siguiente manera  . Despues de la formula que tiene  se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre  y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

 

Bibliografía: http://www.angelfire.com/planet/reivaj7890/derivadas_por_incremento.htm

Derivada de una función

Definición:La derivada es la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera.

El concepto de derivada es muy facil de comprender. Dada una funcion y= f(x), la derivada mide la variacion de y, cuando hay una pequeña variación de x. 

La definición de la derivada de la función y=f(x), es:

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.

Dada una funcion f(x), y cinsiderado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto,denotada como f' (a), al siguiente límite.

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes. 

  

Interés compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (C_f).

Para un período determinado sería

Capital final (C_f) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año	Depósito inicial	Interés	Saldo final
0 (inicio)	$1.000.000	($1.000.000 x 10% = ) $100.000	$1.100.000
1	$1.100.000	($1.100.000 × 10% = ) $110.000	$1.210.000
2	$1.210.000	($1.210.000× 10% = ) $121.000	$1.331.000
3	$1.331.000	($1.331.000 × 10% = ) $133.100	$1.464.100
4	$1.464.100	($1.464.100 × 10% = ) $146.410	$1.610.510
5	$1.610.510

 

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (C_f), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Ejemplo: http://m.youtube.com/watch?v=gS5ztm6eaoQ 

Bibliografía: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Interes_compuesto.html 

Conclusión: limite es cuando X tiende a A, es el número L que se escribe como lim x—>A f(x)=L siempre que f(x) este cerca a L para toda X la suficientemente cerca, pero diferente de A.

Continuidad y discontinuidad

Continuidad: 

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Ejemplo: 

Discontinuidad: 

Una función es discontinua en un punto, x = a, si:

1.El punto, x = a, no tiene imagen.

La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.

2. Que no exista el límite de la función en el punto x = a.

La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.

3. Que la imagen del punto no coincida con el límite de la función en el punto.

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

Bibliografía: http://www.vitutor.com/fun/3/b_1.html

http://www.ditutor.com/limites/discontinuidad.html

Limites al infinito

Observemos la función f(x)=1/x²para valores de x positivos muy grandes.

x	f(x)
100	1,0x10-4
1.000	1,0x10-6
10.000	1,0x10-8
100.000	1,0x10-10
1.000.000	1,0x10-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Bibliografía: http://es.scribd.com/mobile/doc/5263696 

http://www.matematica.50webs.com/limite-infinito.html

Limites laterales

Para analizar el límite de una función en un punto, es necesario acercarse a ese punto tanto por derecha como por izquierda, a esta forma de acercarse al punto analizado por los lados se le conoce como Límites Laterales y se simboliza por:

De hecho, para poder decir que el límite en un punto existe, se debe verificar que el límite de f(x) por la izquierda es igual al límite de f(x) por la derecha, por ejemplo:

Limites Laterales

En el caso A, se ve que cuando Xo se acerca a 2 por la izquierda (X0-), la imagen de f(x) se acerca a 4 por abajo, mientras que si Xo se acerca por la derecha(X0+), la imagen se acerca a 4 por arriba. En ambos casos la imagen se acerca a 4, por lo tanto, el límite de f(x) cuando Xo se acerca a 2, es 4.

En el caso B, Xo se acerca a 2 y su imagen se acerca a 2, pero cuando Xo se acerca por la derecha, se ve que la imagen se acerca a 0. En este caso las imágenes se acercan a diferentes valores por lo tanto se dice que no hay un límite cuando Xo se acerca a 2.

Bibliografia: http://matedos.wordpress.com/2009/09/13/limites-laterales/ 

Limite y continuidad

Limite: Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando xtiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.

http://es.scribd.com/mobile/doc/2683623 

Propiedades de los limites: 

El límite de una constante es la misma constante, ya que esta no cambia:

Si lim f(x) = A y lim g(x) = B

x –>a                    x–>a

En el límite de una función identida, el argumento de la función hace referencia a su propio conjunto, esto hace que cual sea el número de veces que se realize el resultado será el mismo:

f(x) = x , expresandolo, f(5) = 5 , lo cual daría un linea recta.

En el producto de una función se multiplica la parte independiente de la función por su contraparte dependiente o constante:

f(x) x g(x) ,  f(x)=6 , g(x) = x+2

= 6  ((6) + 2) = 48

Bibliografía: http://definicion.de/limites-matematicos/

http://calculobelindapastranaequipodebetty.wordpress.com/propiedades-de-los-limites/

Funciones de oferta y demanda

Bibliografía: 

http://es.scribd.com/mobile/doc/19740046 

Conclusión: la función es lo que asigna a cada número de entrada un número de salida y a los números de entrada se le llama dominio y a todos los posibles números de salida se le llama rango.  

Función exponencial y logarítmica

Función exponencial: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Funciones logarítmicas: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es diferente  de  cero,   entonces log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

 Bibliografía: http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/logaw.htm 

Función lineal y función cuadrática

Función lineal: es una función cuyo dominio son todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Las funciones lineales son polinomios de primer grado.

F:R ---> R / f(x)= a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal. 

Los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Función cuadrática: es una función polinómica de segundo grado, son las funciones de la forma: f(x)= a.x +b.x+c. Su gráfico es una curva llamada parábola. 

Bibliografía: http://www.slideshare.net/vanessaesquivel/funcion-lineal-4522536

http://es.scribd.com/mobile/doc/12636978

Gráfica de una función

En el plano cartesiano, sobre el eje x se representan los valores correspondientes a la varaiable independiente, y en el eje y los de la variable independiente, así cada elemento de la función es un punto sobre el plano cartesiano.

Generalmente las funciones se representan con formulas matemáticas, se genera una tabla de valores de los conjuntos x y y, y un grafico que las represente. 

Conclusión: la gráfica es cada un elemento de la función es un punto sobre el plano cartesiano. 

Bibliografía: http://www.slideshare.net/willaren/representacion-grafica-de-una-funcion

Composición de funciones

La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:

Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función f con la función g , a la función denotada f 􏰀 g ( léase f composición g ),

cuya regla de correspondencia es

( f 􏰀g )( x ) = f [ g (x) ] 

Para obtener la regla de correspondencia de la función f 􏰀 g , según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f .

Así por ejemplo,sean las funciones f(x)=4x2−1yg(x)= x,entonces, la regla de la función f 􏰀 g se obtiene mediante la siguiente sustitución

Conclusión: dada las dos funciones f y g es la composición de la función f con la función g.

Bibliografía: http://dcb.fic.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CalculoDiferencial/documents/Composicion.pdf