Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x = a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Ejemplo: 
Discontinuidad:
Una función es discontinua en un punto, x = a, si:
1.El punto, x = a, no tiene imagen.
La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.
2. Que no exista el límite de la función en el punto x = a.
La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.
3. Que la imagen del punto no coincida con el límite de la función en el punto.
La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.
Bibliografía: http://www.vitutor.com/fun/3/b_1.html
http://www.ditutor.com/limites/discontinuidad.html
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