miércoles, 4 de junio de 2014

Cálculo de máximos y mínimos

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

1 Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2 Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

Calcular máximos y mínimos

f(x) = x³ − 3x + 2

f'(x) = 3x² − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Conclusión:las derivadas Para determinar máximos y mínimos si los comprendí.

Bibliografía: http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

Bibliografía: http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html

Función creciente y drececiente

Función Creciente y Decreciente

ILUSTRACION

Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante.

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x₁	<	x₂	Se tiene que	f(x₁)	<	f(x₂).
Prevalece la relación <

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x₁	<	x₂	Se tiene que	f(x₁)	>	f(x₂).
Cambia la relación de < a >

Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x₁	<	x₂	Se tiene que	f(x₁)	=	f(x₂).
Las y no cambian, son fijas

Considera la siguiente gráfica:

Los intervalos donde la gráfica es creciente son

[ 2.8, 3.6 ]

[ 5.2, 6 ]

El intervalo donde la gráfica es decreciente es

[ 3.6, 5.2 ]

El intervalo donde la gráfica es constante es

[ - 4, 2.8 ]

Bibliografía: http://facultad.bayamon.inter.edu/smejias/precalculo/conferencia/funcrecydecrec.htm

Derivadas de orden superior

Si es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para en el dominio de .

Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función que se denota por o $D_{x}^{2}f(x)$ , que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$ . O sea, la segunda derivada de la función se obtiene derivando la primera derivada de la función.

Ejemplos:

Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces:
$f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y
Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces:
$\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente
$\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
$=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
$=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$
Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$

Similarmente podemos decir que la derivada de $D_{x}^{2}f(x)$ respecto a "x" es la tercera derivada de respecto a "x" que se denota $D_{x}^{3}f(x)$ o .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada $D_{x}^{4}f(x)$ y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de que se denota por $D_{x}^{n}f(x)$ o $f^{(n)}(x)$ . Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.