miércoles, 4 de junio de 2014

Derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior 

Si $f$ es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: 

$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para $x$ en el dominio $M$ de $f$. 

Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función $f$ que se denota por $f''(x)$ o $D_{x}^{2}f(x)$, que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$. O sea, la segunda derivada de la función $f$ se obtiene derivando la primera derivada de la función. 

Ejemplos: 

  1. Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces: 

    $f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y 

    $f''(x)=30x+12$ 

  2. Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces: 

    $\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente 

    $\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$ 
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$ 
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$ 

    Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$ 

Similarmente podemos decir que la derivada de $D_{x}^{2}f(x)$ respecto a "x" es la tercera derivada de $f$ respecto a "x" que se denota $D_{x}^{3}f(x)$ o $f'''(x)$. 

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada $D_{x}^{4}f(x)$ y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de $f$ que se denota por $D_{x}^{n}f(x)$ o $f^{(n)}(x)$. Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. 

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